Consigne: Chercher les extrémums de la fonction suivante : $$f(x,y)=-2(x-y)^2+x^4+y^4$$
Résoudre le système
On détermine les points critiques : $$\begin{align}\begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0\end{cases}\;&\iff\begin{cases}-4(x-y)+4x^3=0\\ 4(x-y)+4y^3=0\end{cases}\\ &\iff\begin{cases} x^3+y^3=0\\ x-y+y^3=0\end{cases}\\ &\iff\begin{cases} x^3=-y^3\\ x-y+y^3=0\end{cases}\\ &\iff\begin{cases} x = -y\\ y^3-2y=0\end{cases}\\ &\iff\begin{cases} x= -y\\ y(y^2-2)=0\end{cases}\\ &\iff\begin{cases} x=0\\ y=0\end{cases}\quad\text{ ou }\quad\begin{cases} x=\sqrt2\\ y=-\sqrt2\end{cases}\quad\text{ ou }\quad\begin{cases} x=-\sqrt2\\ y=\sqrt2\end{cases}\end{align}$$
Montrer par l'absurde que c'est un point selle
Étude en \((0,0)\)
On a : $$f(x,y)=-2(x-y)^2+x^4+y^4$$ si \(f(x,y)\geqslant f(0,0)=0\), alors \((0,0)\) est un minimum
Or, on a \(f(x,0)=-2x^2+x^4\lt 0\) si \(x\neq0\), \(x\) proche de \(0\)
Ainsi, il existe des couples \((x,y)\) aussi proches de \((0,0)\) tq \(f(x,y)\lt f(0,0)\)
Donc \((0,0)\) n'est pas un minimum local
De même pour maximum local, \(f(x,x)=2x^4\gt 0\), donc \((0,0)\) n'est pas maximum local
\((0,0)\) est donc un point selle